本书将黎曼几何现代形式的基础表示为微分流形的几何及其上最重要的结构。作者的处理方法是：黎曼几何的所有构造都源于一个可以让我们计算切向量之标量积的流形。按此方式，作者展示了黎曼几何对于现代数学几个基础领域及其应用的巨大影响。 ● 几何是纯数学与自然科学首先是物理学之间的一个桥梁。自然界基本规律严格表示为描述各种物理量的几何场之间的关系。 ● 对几何对象整体性质的研究导致了拓扑学深远的发展，这包括了纤维丛的拓扑与几何。 ● 描述许多物理现象的哈密顿系统的几何理论导致了辛几何和泊松几何的发展。本书讲述的场论和高维变分学将数学与理论物理统一了起来。 ● 复几何和代数流形将黎曼几何和现代复分析、代数和数论统一了起来。 本书的预备知识包括几门基础的本科课程，如高等微积分、线性代数、常微分方程以及拓扑要义。

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