本书是向苏联数学成就致敬的项目.苏联数学进展系列由不同数学领域的一名或多名资深专家作为主编,内容包含来自俄罗斯的世界数学家的论文,此系列书籍在21卷之后作为美国数学协会译丛2的子系列出版,现在更名为苏联数学进展系列.

本书为此系列的第13卷《幂等分析》.

幂等分析是数学分析的一个新分支,代数结构也是来源于幂等分析.在经典分析中,主要的代数结构,其支撑作用的基础是一个场的结构(RorC).让我们从场的公理列表中删除存在逆元的要求.由此获得的半环结构太笼统,不能作为分析具有该半环中的值的函数的基础,但是,如果删除的添加属性被幂等性所取代,这种结构具有足够的刚性,可以在分析中取得进展,甚至可以远远超前人:在线性(在新操作意义上)的情况下,功能分析的许多基本事实的类似物被证明是有效的(并且是非凡的),像Resz和Hahn- Banach理论、傅里叶变换、谱分析、算子演算和分布理论.

这些类似物不仅为我们的几何直觉提供了方便的背景,而且对它们的理解经常暗示着非常重要的结构,如果我们不站在经典分析的巨人的肩膀上,那么这些结构很难被发明.

在这里获得有意义且具有美学吸引力的理论的可能性与丰富的映射示例源相结合,其线性仅出现在幂等结构中.由于这些映射通常都不是光滑的,并且在局部线性映射中很难逼近,所以不能通过传统分析的方法成功地研究它们,但当我们考虑优化问题、凸分析、博弈论、数学经济学等问题时,对它们的研究是不可避免的.

幂等分析被要求在与外部现象和结构相关的许多数学分支中发挥相同的作用,这些分支在当时通过数学物理、数值方法和微分方程的泛函分析发挥作用.为了实现这种统一,有必要研究出现在函数空间(及其映射空间)中的代数和解析结构,包括由幂等半环中的值组成的函数.本书作者们希望本卷中的论文能在这方面取得进展.

本卷所收入的具体文章包括:贝尔曼方程指数渐近和隧道效应的量子

化有界函数的半模性的自同态有限生成自由半模的自同态幂等分析中的线性算子加性算子和齐次算子紧自同态的光谱有界函数半模中的凸集等.

本工作室今后将会投入很大的力量去引介源自世界数学强国的优秀经典著作.重点关注的国家暂定为:美、苏、德、法、意、日.大部分采取原版影印,小部分译成中文,还有部分改编版、注释版.在此过程中由于我们走出了自己的舒适区,所以很快就发现了自己的能力限制.有人说:承认自己的不完美,就如同发现自己不伟大一样和平凡和解,才是成熟的沧桑姑且信之,聊以自慰.

刘培杰

2018年9月14日